星落尘埃

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一、等價無窮小#

等價無窮小替換是微積分中的一種技巧，用於簡化極限計算，特別是在求導和不定積分的過程中。兩個函數在某一點的極限為零，如果它們的比值在該點的極限為 1，則這兩個函數在該點附近是等價無窮小。以下是一些常見的等價無窮小替換公式，它們在 $x \to 0$ 時成立：

1. $\sin(x) \sim x$
2. $\tan(x) \sim x$
3. $\arcsin(x) \sim x$
4. $\arctan(x) \sim x$
5. $1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2$
6. $\ln(1 + x) \sim x$
7. $e^x - 1 \sim x$
8. $(1 + x)^a - 1 \sim ax$，其中 $a$ 是任意常數
9. $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln(a)}$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$

等價無窮小的概念可以用來在求極限時替換複雜的表達式為簡單的表達式，只要這些表達式在考慮的點附近表現相似。這些替換只在 $x$ 趨近於 0 時有效，因為只有在這個條件下，它們的比值的極限才是 1。

例如，如果我們要計算 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$，我們可以直接使用等價無窮小替換 $\sin(x) \sim x$，得到：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

使用等價無窮小替換可以大大簡化極限的計算過程。

二、積分替換公式#

積分替換公式是積分計算中的一種方法，它通過變量替換將複雜的積分轉換為更簡單的形式。以下是一些常用的積分替換技巧：

1. 代數替換：

   • 當被積函數包含 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 形式的根式時，通常使用三角替換。

2. 三角替換：

   • 對於 $\sqrt{a^2 - x^2}$，可以令 $x = a\sin(\theta)$。
   • 對於 $\sqrt{a^2 + x^2}$，可以令 $x = a\tan(\theta)$。
   • 對於 $\sqrt{x^2 - a^2}$，可以令 $x = a\sec(\theta)$。

3. 分部積分：

   • 根據積分的乘積法則，$\int u dv = uv - \int v du$。

4. 有理函數的積分：

   • 對於有理函數（一個多項式除以另一個多項式），可以使用部分分式分解。

5. 三角函數的積分：

   • 使用三角恆等式來簡化被積函數，例如 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$。

6. 指數函數和對數函數的積分：

   • 對於形式為 $a^x$ 的函數，可以使用自然對數的底 $e$ 來替換，即 $a^x = e^{x\ln(a)}$。

7. 湊微分法：

   • 通過適當的替換使得被積函數與其導數相關聯。

8. 換元積分法（代換法）：

   • 對於複合函數的積分，可以使用 $u$- 替換，即設 $u = g(x)$，然後計算 $du = g'(x)dx$。

9. 反三角函數的積分：

   • 當被積函數形式類似於反三角函數的導數時，可以直接使用反三角函數積分。

10. 特定積分的標準形式：

    • 有些積分有已知的標準形式，如 $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C$。

在進行變量替換時，重要的是要記得同時替換微分項（$dx$），以確保積分的正確性。替換後，積分可能會變得更加簡單，並且可以使用基本積分公式或進一步的技巧來解決。完成積分後，如果需要，應該將變量替換回原始變量。

三、常見的特定積分標準形式#

特定積分的標準形式通常指的是一些常見函數的不定積分，它們有通用的積分公式。以下是一些基本的不定積分公式：

1. 冪函數的積分：

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

2. 指數函數的積分：

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$

3. 對數函數的積分：

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

4. 三角函數的積分：

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

$\int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C$

$\int \csc^2(x) \, dx = -\cot(x) + C$

$\int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C$

$\int \csc(x)\cot(x) \, dx = -\csc(x) + C$

5. 反三角函數的積分：

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C$

$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arccos(x) + C$

$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C$

$\int \frac{-1}{1 + x^2} \, dx = arccot(x) + C$

6. 雙曲函數的積分：

$\int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C$

$\int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C$

7. 逆雙曲函數的積分：

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \text{arsinh}(x) + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcosh}(x) + C \quad (x > 1)$

這些公式是解決基本積分問題的起點，但是在實際應用中，你可能需要結合多種積分技巧，如換元積分法、分部積分法、分式分解等，來解決更複雜的積分問題。記住，積分常數 $C$ 表示積分的不確定性，它在不定積分中總是出現。