常見のポイント＆等価式

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一、等価な無限小#

等価な無限小の置換は、微積分で使用されるテクニックの一つであり、極限の計算を簡略化するために使用されます。特に、微分や不定積分の過程で使用されます。2 つの関数がある点での極限が 0 であり、その比が 1 である場合、これらの関数はその点の近くで等価な無限小です。以下は、 $x \to 0$ のときに成り立ついくつかの一般的な等価な無限小の置換公式です。

$\sin(x) \sim x$
$\tan(x) \sim x$
$\arcsin(x) \sim x$
$\arctan(x) \sim x$
$1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2$
$\ln(1 + x) \sim x$
$e^x - 1 \sim x$
$(1 + x)^a - 1 \sim ax$ ，ここで $a$ は任意の定数です。
$\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln(a)}$ ，ここで $a > 0$ かつ $a \neq 1$ です。

等価な無限小の概念は、極限の計算において複雑な式を単純な式に置き換えるために使用されます。これらの置換は、考慮している点の近くで似たような振る舞いをする場合にのみ有効です。これらの置換は、 $x$ が 0 に近づく場合にのみ有効です。なぜなら、この条件の下で、それらの比の極限は 1 になるからです。

例えば、 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ を計算する場合、等価な無限小の置換 $\sin(x) \sim x$ を直接使用して次のようになります：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$

等価な無限小の置換を使用することで、極限の計算を大幅に簡略化することができます。

二、積分の置換公式#

積分の置換公式は、積分計算の方法の一つであり、変数の置換によって複雑な積分をより簡単な形に変換します。以下は一般的な積分の置換テクニックのいくつかです：

代数的な置換：
- 積分する関数が $\sqrt{a^2 - x^2}$ 、 $\sqrt{a^2 + x^2}$ 、または $\sqrt{x^2 - a^2}$ の形式の平方根を含む場合、三角関数の置換が一般的に使用されます。
三角関数の置換：
- $\sqrt{a^2 - x^2}$ の場合、 $x = a\sin(\theta)$ と置くことができます。
- $\sqrt{a^2 + x^2}$ の場合、 $x = a\tan(\theta)$ と置くことができます。
- $\sqrt{x^2 - a^2}$ の場合、 $x = a\sec(\theta)$ と置くことができます。
部分積分：
- 積分の積の法則に基づいて、 $\int u dv = uv - \int v du$ となります。
有理関数の積分：
- 有理関数（多項式を他の多項式で割ったもの）の場合、部分分数分解を使用することができます。
三角関数の積分：
- 三角恒等式を使用して、積分する関数を単純化することができます。例えば、 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ です。
指数関数と対数関数の積分：
- $a^x$ の形式の関数の場合、自然対数の底 $e$ を使用して置換することができます。つまり、 $a^x = e^{x\ln(a)}$ です。
微分の調整法：
- 適切な置換を行い、積分する関数をその導関数と関連付けることができます。
置換積分法：
- 合成関数の積分の場合、 $u$ - 置換を使用することができます。つまり、 $u = g(x)$ とおき、 $du = g'(x)dx$ を計算します。
逆三角関数の積分：
- 積分する関数が逆三角関数の導関数に似ている場合、直接逆三角関数の積分を使用することができます。
特定の積分の標準形：
- いくつかの積分には既知の標準形があります。例えば、 $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C$ です。

変数の置換を行う際に重要なのは、微小変化項（$dx$）も同時に置換することです。置換後、積分はより簡単になり、基本的な積分公式やさらなるテクニックを使用して解決することができます。積分が完了したら、必要に応じて変数を元の変数に戻す必要があります。

三、一般的な特定積分の標準形#

一般的な特定積分の標準形は、一般的な関数の不定積分を指し、一般的な積分公式が存在します。以下はいくつかの基本的な不定積分公式です：

べき関数の積分：

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

指数関数の積分：

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$

対数関数の積分：

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

三角関数の積分：

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

$\int \sec^2(x) \, dx = \tan(x) + C$

$\int \csc^2(x) \, dx = -\cot(x) + C$

$\int \sec(x)\tan(x) \, dx = \sec(x) + C$

$\int \csc(x)\cot(x) \, dx = -\csc(x) + C$

逆三角関数の積分：

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C$

$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arccos(x) + C$

$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C$

$\int \frac{-1}{1 + x^2} \, dx = arccot(x) + C$

双曲線関数の積分：

$\int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C$

$\int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C$

逆双曲線関数の積分：

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx = \text{arsinh}(x) + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcosh}(x) + C \quad (x > 1)$

これらの公式は、基本的な積分問題を解決するための出発点ですが、実際の応用では、変数の置換積分法、部分積分法、分数分解など、さまざまな積分テクニックを組み合わせて、より複雑な積分問題を解決する必要があるかもしれません。積分定数 $C$ は積分の不確定性を表し、不定積分では常に現れます。